calcul

L'outil proposé ici se manipule comme les tableaux de conversion visibles sur cette autre page.

On découpe et on plastifie pour une utilisation avec le feutre d'ardoise. L'élève procède en 3 étapes: il place la virgule sous le trait noir plus épais, il écrit le nombre à multiplier / diviser de manière à ce que la virgule soit au bon endroit (il écrit par dessus les zéros en gris clair s'il y a lieu), et ensuite il déplace la virgule sous le trait vert ou bleu qui convient. Par exemple, s'il doit diviser le nombre 46 par 10:

Il y a un outil pour la multiplication et un autre pour la division, associés à deux couleurs différentes, afin de faciliter une mémorisation différenciée des deux procédés qui sont souvent confondus du fait de leur symétrie.

Voici le fichier, qui contient les deux outils:

L'idée est de donner à voir la démarche et de guider l'élève en lui fournissant du matériel qu'il pourra manipuler et finalement intégrer mentalement pour pouvoir ensuite s'en passer.

Pour effectuer par exemple la soustraction "34 - 6", l'élève prend le support "de 20 à 40" et la réglette "6". Le support doit être plié de manière à ce que le pli tombe sur le nombre 30, et que seule soit visible la partie de 30 à 40.

Muni de ces deux outils, l'élève peut sans difficultés trouver le résultat de la soustraction en positionnant la réglette sur le support de façon adéquate et en la repliant de manière à ce qu'elle épouse la forme de celui-ci. Il n'a plus qu'à retourner le support pour lire le résultat.

Une fois l'élève à l'aise avec cette procédure, on peut lui proposer de ne pas plier la réglette (ou l'empêcher en la plastifiant, ou en retirant la partie gauche du support). Il devra alors finir le travail mentalement pour trouver le résultat.

On peut imaginer ensuite éloigner le support de la réglette, puis le supprimer totalement, si celui-ci est intégré mentalement, et ne donner que la réglette pliée au bon endroit. Ensuite, on peut donner la réglette intacte, à charge pour l'élève de la plier comme il convient.

Voici les fichiers:

Des règles et des réglettes à manipuler pour favoriser le développement de représentations mentales axées sur la file numérique pour améliorer les compétences en calcul mental.

(Matériel à télécharger en fin de page)

• Soustractions:

On présente le matériel suivant à l'élève:

Pour résoudre la soustraction qui lui est soumise, il prend les deux réglettes qui conviennent (ici 7 et -4), et les place ainsi sur le support:

Évidemment, Il faut commencer par réaliser soi-même quelques manipulations pour montrer à l'élève comment fonctionne l'outil.

Si besoin, on peut préciser le protocole suivant, en l'accompagnant d'un repérage couleurs sur le matériel plastifié, au feutre d'ardoise:

"On place le départ de la flèche de la première réglette sur le 0. 

On place ensuite la seconde réglette sur le trait montré par la flèche de la première réglette, vers la gauche ou vers la droite selon le sens de la flèche tracée sur la réglette à placer.

Pour lire le résultat, on suit la ligne indiquée par la pointe de flèche de la dernière réglette placée."

Une fois que l'élève est habitué à la manipulation du matériel, on peut proposer de supprimer la première réglette et faire directement placer au bon endroit la seconde réglette.

• Additions de relatifs

Même procédure que pour la soustraction, avec un nouveau support, allant de -20 à 20.

Voici le matériel:

Remarque: On peut se poser la question de la pertinence de la présence ou non des signes "+" et "-" sur les réglettes. En effet, on peut considérer que le signe est contenu dans le sens de déplacement de la flèche, et que son absence sur la réglette favorise la dissociation signe / distance à zéro, laquelle est essentielle pour la réalisation ultérieure de calculs plus complexes. Je vous mets donc les réglettes avec les deux options.

Et des supports pour des additions et soustractions à plus de deux termes:

Cet outil est constitué de 3 séries de réglettes et d'une bande sur laquelle l'élève va pouvoir disposer ses réglettes.

Il a été conçu pour travailler le surcomptage et les additions à trou. Il permet de travailler ces compétences en lien avec la représentation mentale de la file numérique.

- Surcomptage:

Si je demande à l'élève de calculer 5+3, il commence par prendre la réglette 5 de la série jaune et la positionne sur le support de cette manière:

Ensuite, il prend la réglette 3 de la série bleue et la positionne à côté:

Il peut alors calculer 5+3 en pointant 5 et en continuant la file numérique jusqu'à 8.

Il peut vérifier son résultat en positionnant la réglette 8 de la troisième série sous les deux précédentes:

 - Additions à trous:

On commence pareil avec la réglette jaune, puis l'élève prend la réglette 8 dans la troisième série de réglettes et la positionne à sa place sur le support. Il n'a plus alors qu'à compter le nombre de cases manquantes pour connaître le terme manquant, et positionner la réglette bleue pour vérifier son résultat.

Remarque: Les repérages couleur correspondent aux couleurs que j'ai utilisé avec cet élève pour réaliser des maisons des nombres. Je mets les fichiers des maisons des nombres en fin de page si vous souhaitez les utiliser.

Il me paraît important de commencer à utiliser l'outil avant d'aborder les additions à trou, avec des additions toutes simples, de manière à faciliter la prise de sens pour ces additions à trou. Donc, si vous souhaitez utiliser l'outil dès les premières additions, en lien avec les maisons des nombres, je vous mets des réglettes à points avec un repérage couleur jaune, à utiliser à la place de la première série:

L'outil peut également être utilisé, entre autres, pour aider à mémoriser les compléments à 10, pour montrer la commutativité de l'addition ou pour travailler les doubles et les moitiés.

Remarque pratique: J'utilise de la gomme fix pour fixer les réglettes sur un paravent que j'ai dédié à cette activité, et j'ai bricolé un support cartonné pour le support "file numérique" de manière à ce que la manipulation par l'enfant se fasse assez facilement. L'adulte peut également prendre en charge la manipulation si besoin.

Voici les fichiers:

Étape 1: addition par coloriage de barres et cubes.

Rq: On peut introduire cette fiche avec une manipulation de barres et cubes sur une trame imprimée en grand.

Dans un premier temps, on prend en charge le coloriage des deux termes de l'addition. L'élève aura seulement à colorier le résultat de l'addition puis à reporter ce résultat dans l'encadré au-dessus. Il pourra prendre en charge tout le coloriage quand il sera à l'aise.

Étape 2: Mise en parallèle de l'addition en barres et cubes et de l'addition posée en nombres.

On colorie les barres et cubes des deux termes de l'addition, l'élève colorie le résultat et écrit l'addition complète à côté.

Étape 3: Additions de nombres avec repères de couleur.

Étape 4: Activité préparatoire à l'introduction de la retenue:

On fait remplir par l'élève ce genre de fiches:

Il doit colorier la dizaine et les unités qui conviennent et donner le résultat en chiffres. Pour l'aider, on lui fournit le référentiel suivant:

Voici les fichiers à télécharger:

En parallèle: Le calcul d'additions à 3 termes.

À cette étape, je n'introduis que des additions de nombres à un chiffre, le troisième terme étant systématiquement 1 afin de ne pas faire plus compliqué que nécessaire pour l'addition posée.

Étape 5: Retour à la représentation en barres et cubes.

On commence par faire calculer la somme des unités:

On place ensuite l'addition dans le tableau suivant en choisissant la colonne qui convient (les caches dont il est fait référence dans le tableau sont présentés en dessous).

• Premier cas: Il n'y a pas de retenue.

Je résous l'addition comme d'habitude.

• Deuxième cas: il faut poser une retenue. 

Je place l'addition dans la colonne du tableau qui correspond.

Je prends le cache qui correspond à la somme des unités trouvée et je le place de façon à cacher les cubes de mon addition. Je n'ai plus qu'à "lire" le nombre d'unités trouvées et à colorier le nombre de dizaines en n'oubliant pas de prendre en compte la retenue.

Le matériel et les fiches pour cette étape:

Le matériel est en deux formats selon les besoins. D'abord le format le plus gros:

Puis le plus petit:

Étape 6: Même chose avec les nombres en chiffres

Étape 7: Additions posées avec ou sans retenue avec repères de couleur

Étape 8 : Additions sont posées de façon ordinaire.

Une fois les additions +1,2,3,4 et 5 sont acquises, on peut passer aux additions +6 à +9. On a deux cas de figure:

1) Le premier terme de l'addition est inférieur ou égal à 5:

On propose de permuter la place des deux nombres. 

2) Les deux termes sont supérieurs ou égaux à 5:

L'objectif de cette série d'activités est d'essayer de faire calculer en passant par la décomposition des nombres en une addition  5 + x . On regroupe les deux "paquets" de 5 pour faire 10 et on compte les unités qu'il reste.

• Étape 1: quelques fiches pour se familiariser avec le matériel

Étape 2: Une fois l'élève à l'aise avec cette représentation des nombres, on peut utiliser le matériel pour effectuer les additions:

On partage une feuille en deux secteurs. Dans chacun des secteurs on fixe une barre de 5. On présente à l’élève une addition de deux nombres compris entre 5 et 9. L'élève rajoute dans chacun des secteurs les unités nécessaires puis il compte la somme des deux. Il faut au départ utiliser la guidance pour montrer que deux barres de 5 font 10.

Voici un fichier dans lequel sont représentés tous les nombres de 0 à 99 en barres et cubes. (fichier à télécharger en bas de page). Il est conçu pour être imprimé puis mis dans un classeur que l'élève pourra manipuler seul:

Ce classeur a été conçu pour servir de référentiel pour différentes activités de numération sur des nombres représentés en barres et cubes, et d'outil pour le calcul mental. Il permet également, en le parcourant dans l'ordre, de montrer le principe d'itération de l'unité et le passage à la dizaine. 

Dans un premier temps, afin de familiariser l'élève avec le classeur, on peut proposer des activités de numération pure: mettre en relation un nombre et sa représentation en barres et cubes. Pour cela, on peut réimprimer les pages en plus petit et les découper de manière à avoir deux morceaux de "puzzle" pour chaque nombre: le nombre écrit en chiffres d'un côté et sa représentation de l'autre. On en sélectionne quelques uns qu'on mélange et l'élève doit reconstituer les paires. Le classeur permet de vérifier ou de donner le modèle si l'élève en a besoin.

On peut ensuite utiliser le classeur pour le calcul, avec les barres et cubes libres. On prend la fiche du premier terme de l'addition et on positionne sur les emplacements qui conviennent le matériel correspondant au deuxième terme. (il peut être utile de commencer en guidant l'élève pour qu'il sache où poser les unités à ajouter, en pointant l'emplacement adéquat). La manipulation du matériel de petite taille pour le deuxième terme de l'addition étant compliquée puisque ça bouge facilement, on peut utiliser du ruban adhésif repositionnable pour fixer les barres sur le support de rangement (pochette plastifiée qu'on range en début de classeur par exemple); l'élève prend alors le ruban avec la barre et positionne le tout sur le classeur, ça ne bouge pas.

Voici donc le fichier pour le classeur:

Une version avec les nombres écrits avec des chiffres en couleurs puis une version avec les nombres en noir.

Et le matériel à imprimer sur du papier épais et à découper pour faire des barres unités jaunes de 1 à 9 cubes, et des barres dizaines oranges:

Je mets aussi 100 parce que les élèves peuvent être frustrés de ne pas le voir finir le classeur, mais la trame n'est plus adaptée pour ce nombre, il n'y a pas de place pour les dizaines suivantes. Il faudrait créer une trame plus grande. 

Pour effectuer des additions, il peut être utile que l'emplacement des unités à ajouter soit plus explicite. Voici donc une autre version du classeur où les cases unités sont matérialisées.

( attention, ces cases peuvent être perturbatrices et créer de la confusion).

Le but de ces activités est de développer des outils pour travailler la technique de l'addition posée et le calcul mental sur des nombres supérieurs ou égaux à 10.

Pour commencer, de petites additions. Ici, les unités sont représentées par des carrés alignés horizontalement. Il n'y a que 9 cubes sur chaque ligne, comme dans les représentations usuelles du nombre en barres et cubes.

Les fiches parlent d'elles-mêmes. On commence par des fiches munies de repères couleur puis quand l'élève a compris on enlève les repères. Les fiches sont à pré-remplir par l'adulte en indiquent l'opération à résoudre, soit par l'écriture des nombres, soit par le coloriage des cubes. L'élève fait le reste.

Sur le même principe, on peut ensuite travailler sur les compléments à 10. Cela permet de travailler cette compétence pour elle-même et aussi de travailler la représentation de la dizaine pour travailler ensuite sur des nombres représenté en barres et cubes, notamment pour la technique de l'opération posée. 

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les réglettes que vous pouvez télécharger ci-dessus doivent être utilisées avec une file numérique aux mêmes dimensions:

Sur les fiches que vous pouvez télécharger ici, une file numérique accompagne chaque calcul. Une fois l'élève familiarisé avec le matériel, on peut proposer des calculs présentés de façon ordinaire et donner à côté une file numérique plastifiée.

L'élève peut utiliser les réglettes de deux manières:

Par exemple, pour faire 4+5, il peut dessiner les points sur la file numérique:

Ou juste positionner les réglettes et lire le résultat:

Dans un premier temps il me semble préférable de faire dessiner les points, mais une fois que la quantité et le nombre sont bien associés, la deuxième manière sera plus propice à la mémorisation par cœur des résultats des petites additions.

Voici un modèle de fiche à imprimer et à compléter pour proposer les premiers calculs:

Les activités permettent de faire le lien entre numération et addition. La numération étant bien souvent un point fort des élèves avec autisme, on peut s'appuyer sur cette compétence pour développer le calcul mental de type +1, +2, +3, +4 et +5.

Pour ce faire, on peut proposer à l'élève de remplir des fiches de ce type:

Si on veut uniquement travailler la numération, on peut évidemment ne donner que la première partie de la fiche, et reprendre ensuite les fiches entières pour le calcul mental quand l'élève est prêt.

On accompagne la fiche d'une aide:

- Pour faire +1, ou compter de 1 en 1, l'aide est simplement une représentation de la file numérique:

L'élève recopie la suite de nombres à l'identique.

- Pour faire +2, on commence par fournir ces deux aides:

On donne alors à l'élève une fiche de travail munie des mêmes repères:

Une fois l'élève à l'aise, on peut proposer cette aide unique:

Et quand c'est possible, on remplace les fiches de travail avec repères couleurs par des fiches sans repères couleurs. Pour faire la transition, on peut colorier la première case de chaque série de nombres à écrire de la couleur qui convient.

- Pour +3, +4 et +5 on procède selon le même principe avec les aides suivantes:

Rq: Si on ne peut pas imprimer les fiches d'aide en couleur on peut utiliser la trame vierge et la colorier ou même, pourquoi pas, la faire colorier par l'élève.

Les fiches à télécharger:

Remarque: il est utile de faire remarquer à l'élève que faire +4 c'est faire +2 et encore +2. 

Et les aides qui accompagnent les fiches:

Voici une aide sans couleurs que vous pourrez utiliser si vous ne pouvez pas imprimer vos aides en couleur et qu'il vous faut colorier:

Dans son livre "la bosse des maths", Stanislas Dehaene rappelle l'importance de la manipulation pour développer le sens du nombre. Pour les élèves avec autisme, la manipulation est indispensable dans un premier temps, mais parfois insuffisante pour permettre la construction de représentations mentales efficaces pour le calcul.

Stanislas Dehaene dit également, p. 159 de l'édition de 2010, concernant les élèves neurotypiques: "Sharon Griffin, Robbie Case et Robert Siegler, trois psychologues nord-américains, ont étudié avec rigueur l'impact de différentes stratégies éducatives. Leur analyse théorique, comme la mienne, attribue un rôle central à la représentation intuitive des quantités sur la ligne numérique."

Sur la base de cette analyse, Stanislas Dehaene a conçu un jeu numérique gratuitement téléchargeable "La course aux nombres". C'est un jeu très intéressant.

Les objectifs du jeu que je propose sur cette page sont:

- rendre le jeu numérique de Stanislas Dehaene "La course aux nombres" accessible

- Mettre en place un outil qui pourra être utilisé dans d'autres activités de calcul: les réglettes.

- développer la représentation de la droite numérique

- développer le sens de l'addition.

Le jeu se joue à deux. L'élève joue contre un adulte afin de reproduire les conditions du jeu numérique "La course aux nombres".

J'utilise le matériel suivant:

- Des réglettes imprimées sur un papier épais:

- Des cartes nombres mélangées et formant une pile, face cachée:

- Un support sur lequel l'élève va placer les deux cartes qu'il aura tirées au hasard:

- Une file numérique pour chaque joueur, avec le pion qui va être déplacé au fur et à mesure que le jeu se déroule:

L'élève prend le pion "singe" et l'adulte le pion "serpent", comme dans le jeu numérique.

- Et pour finir une file numérique de 0 à 12 minium qui permettra à l'élève de repérer le nombre le plus grand parmi les deux choisis:

Le matériel est installé ainsi:

Le but du jeu est d'arriver le premier au bout de sa file numérique.

Pour commencer, l'élève tire deux cartes de la pile et les place face visible sur le support dédié. Il sélectionne la carte nombre qu'il veut, sachant que son intérêt pour gagner est de choisir le nombre le plus élevé. Pour l'aider dans son choix, on peut lui proposer de repérer les deux nombres sur une petite bande numérique, s'il a déjà manipulé ce matériel avec les activités de numération que je publierai prochainement sur ce blog. S'il n'a pas manipulé ce matériel il est préférable de simplement le guider dans son choix pour ne pas avoir trop de matériel nouveau.

Une fois la carte nombre choisie, l'élève la place près de lui et prend la réglette qui porte le même nombre. Il place la réglette sur la file numérique et trace les points:

Le partenaire de jeu prend l'autre carte et fait la même opération sur sa file numérique.

On met les deux cartes de côté et on range la réglette utilisée, puis l'élève tire deux nouvelles cartes. On recommence les mêmes étapes, et petit à petit on progresse le long de la file numérique.

Si l'élève choisit bien à chaque fois la carte au nombre le plus grand il gagnera forcément.

Voici la règle du jeu en images:

Dans un second temps, si c'est utile dans la progression de l'élève, on peut faire écrire sur une feuille les opérations mathématiques qui correspondent aux déplacements sur la droite numérique.

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Fichiers à télécharger pour réaliser le jeu: 

Et une trame pour créer vos propres cartes. On peut proposer des cartes où figurent de petites additions comme sur le jeu en ligne quand c'est possible.