Maths collège

Les supports contenus sur cette page sont destinés, selon les cas, à servir d'outil référentiel ou à servir de support sur lequel l'élève va pouvoir directement réaliser les tâches demandées. L'utilisation des supports doit être estompée dès que c'est possible. Une fois l'élève à l'aise avec un support, on peut, selon les cas, demander de ne plus faire directement sur le support, mis à distance, ou imprimer le support en noir et blanc, etc. 

Il peut être utile, notamment pour les contrôles bilan, de constituer un classeur réunissant tous les supports effectivement maîtrisés par l'élève de manière à pouvoir guider celui-ci dans le choix de la procédure à mettre en œuvre pour un exercice donné, et réactiver celle-ci, en pointant simplement la fiche pertinente. 

• Outils généraux
• Les pourcentages
• Les tableaux de proportionnalité
• Calcul avec les fractions
• Le calcul littéral
• Les équations
• Probabilités
• Statistiques
• Les transformations dans le plan
• Triangles égaux triangles semblables
• Se repérer dans le pavé droit
• Théorème de Pythagore
• Théorème de Thales

Outils généraux:

Voici maintenant des fiches pour arrondir au dixième près puis au centième près. La première fiche permet de travailler la compréhension du système adopté, les fiches suivantes permettent de travailler l'automatisation du procédé.

Les fiches, comme beaucoup de fiches de cette page, sont à imprimer et à glisser dans une pochette plastique pour que l'élève puisse écrire dessus au feutre d'ardoise.

Les pourcentages:

La question des pourcentages est particulièrement difficile.

Il y a deux façons de se représenter un pourcentage. Par exemple, si j'évoque "30%":

• Premier cas: je considère comme deux entités les nombres 30 et 100 et je les mets en face à face. Parmi la quantité 100, je mets en relief la quantité 30. Si je dis par exemple que 30 femmes salariées sur cent travaillent à temps partiel, je fais appel à cette représentation.

  

   

Si je veux appliquer ce pourcentage à un nombre ayant une relation multiplicative simple avec le nombre 100, je multiplie ou je divise des deux côtés par ce nombre. Par exemple, si je veux appliquer 30 % à 300 ou à 50, je fais:

Si je n'identifie pas de lien simple entre le nombre auquel appliquer le pourcentage et le nombre 100, je peux utiliser la procédure suivante, comme avec un tableau de proportionnalité:

• Deuxième cas: Je considère le pourcentage comme une entité. Ma formulation change, je ne dis plus que 30 femmes sur 100 travaillent à temps partiel, je dis que 30% des femmes salariées sont à temps partiel. Je considère ici que "30%" représente une fraction de 1, le nombre 1 correspondant alors implicitement à l'ensemble des femmes salariées. Cette représentation du pourcentage a l'avantage de permettre une parfaite superposition de la grammaire du français avec la grammaire mathématique:

  

   

En fonction de la technique enseignée, de celle avec laquelle l'élève est le plus à l'aise, et en fonction de la façon dont l'énoncé est formulé, on utilisera un type de représentation plutôt que l'autre.

J'ai donc créé deux supports différents pour les problèmes de pourcentages.

Pour le cas 1:

Quelques exemples d'utilisation de ces supports avec un problème de chimie: Trouver la quantité de diazote dans un volume d'air donné, sachant que la proportion de diazote dans l'air est de 80 %:

L'élève prend la fiche 80 % et écrit au feutre, à côté de "80 %", le volume d'air donné. Ensuite, on va pouvoir le guider pour qu'il utilise l'une des représentations de la fiche en fonction de ses capacités. Si par exemple le volume d'air est de 400l, il peut prendre deux post-it et indiquer sur chacun d'eux "x 4" (on part ici du principe qu'il a identifié cette relation). Il les place ensuite ainsi, et effectue le calcul:

S'il n'a pas identifié de relation simple entre le volume d'air et le nombre 100, comme par exemple si le volume d'air est de 75 litres, il peut utiliser:

ou

qui sont équivalents.

Pour certains nombres, on peut également proposer:

Pour le cas 2: 

Voici un exemple d'utilisation de ce deuxième support, avec le même problème de chimie:  Trouver la quantité de diazote dans 400 l d'air, sachant que la proportion de diazote dans l'air est de 80 %:

Pour finir avec cette section sur les pourcentages, voici deux fichiers destinés à travailler les équivalences entre les différentes écritures utilisées pour travailler sur les pourcentages et les fractions de 1.

Les premières fiches constituent le référentiel, les suivantes permettent de manipuler des étiquettes pour reconstituer le référentiel. On aura avantage à sélectionner certains items en particulier en fonction de l'objectif de l'activité. (Les fichiers sont volumineux, le téléchargement peut prendre un moment...)

Les tableaux de proportionnalité:

Il me semble que la principale difficulté des tableaux de proportionnalité vient de leur présentation horizontale.

Nous avons besoin, pour raisonner sur ce type de problèmes, de poser les choses selon ce schéma:

En effet, si on observe les choses sous le prisme des schémas mentaux, on voit que, les éléments 3 et 12 étant relatifs à un même objet, ils doivent être situés sur une même ligne horizontale. De même pour 1 et 4 et pour 20 et 80.

Les tableaux de proportionnalité présentent les nombres d'une manière non naturelle, qui oblige le cerveau à effectuer des allers-retours inconfortables entre la présentation qui est offerte à la vue et celle qui permet le raisonnement.

Je propose donc, pour la résolution de problèmes faisant appel à des situations de proportionnalité, en cas de difficultés persistantes, d'utiliser un tableau présenté de façon verticale, qui va faciliter le "rangement" des données de l'énoncé et leur traitement logique. Une fois ce traitement réalisé, on pourra basculer les données dans un tableau standard. Voici donc quelques fiches à utiliser en fonction des besoins et du mode de résolution le plus pertinent:

(Les premières fiches sont à imprimer et à glisser dans une pochette plastifiée pour une utilisation avec un feutre d'ardoise, ou à utiliser avec des post-it sur lesquels on écrit les différentes données de l'énoncé, et que l'on dispose ensuite dans les cases pertinentes sur les supports. La dernière fiche est destinée à servir de guidance pour, à terme, une fois la présentation horizontale du tableau acquise, aider l'élève à identifier la procédure à suivre pour résoudre le problème.)

Calcul avec les fractions:

Les fiches sont à imprimer et à glisser dans une pochette plastique pour une utilisation avec le feutre d'ardoise.

On peut aussi utiliser le support suivant:

On bricole une étiquette transparente avec du plastique (feuille de plastifieuse plastifiée à vide par exemple) sur laquelle on écrit la fraction à diviser. On place cette étiquette sur la première case vide du support. Pour mettre en évidence visuellement que diviser par une fraction c'est multiplier par la fraction inverse, il suffit de prendre l'étiquette et de la placer sur la deuxième case vide du support en la retournant. Les nombres sont alors écrits à l'envers, mais c'est sans importance si on prend soin d'éviter d'utiliser le 6 et le 9. 

Mettre deux fractions au même dénominateur:

Deux supports pour les problèmes avec multiplications ou divisions de fractions. Ces supports semblent complexes à priori, mais après quelques utilisations, l'élève pour qui je les ai faits a été très à l'aise. Cette représentation a l'avantage de rendre explicite le fait que quand on nomme une fraction par des mots comme la moitié, trois quarts, deux tiers,..., en fait il s'agit de la moitié de 1, trois quarts de 1, ...

Multiplication et division de fraction dans des problèmes du type: les trois quarts de ..... = ?

La première fiche reprend un support utilisé pour les pourcentages:

Exemple d'utilisation avec le problème suivant: Dans ma bibliothèque, trois quarts des livres sont des romans. Ma bibliothèque contient 120 livres. Combien sont des romans?

L'élève peut soit écrire au feutre d'ardoise sur la fiche glissée dans une pochette plastique, au fur et à mesure de la lecture de l'énoncé, soit écrire sur des post-it chaque élément de l'énoncé, et ensuite placer les post-it au bon endroit de manière à diminuer la charge mentale. L'élève trace le trait pour fractionner la zone. Si l'estimation de la position approximative du trait n'est pas juste ça n'a pas d'importance. L'objectif ici est de comprendre que la fraction représente une partie de 1 et d'acquérir un schéma mental dans lequel ranger les données de l'énoncé.

Pour les problèmes du type: "Combien font un quart de trois cinquièmes", voici un autre support.

Pour visualiser le fonctionnement de la fiche, imaginons le problème suivant:

Dans ma bibliothèque, trois cinquièmes des livres sont des romans. Parmi ces romans, un quart sont des romans de science fiction. Quelle fraction des livres de ma bibliothèque sont des romans de science fiction?

Le calcul littéral:

Ici aussi, les fiches sont à imprimer et à glisser dans une pochette plastique pour que l'élève puisse réaliser les exercices au feutre d'ardoise sur le support.

La même chose, mais avec une présentation qui permet d'ajouter des éléments avant ou après la partie à développer pour une utilisation dans le cadre d'une équation:

Exemple d'utilisation de la fiche:

La même fiche, mais avec une mise en page permettant d'ajouter des termes de part et d'autre pour une utilisation dans une équation:

Une fiche en noir et blanc qui regroupe les deux techniques pour alléger la guidance quand l'élève est à l'aise:

Cette trame peut être juste montrée pour expliciter l'action à réaliser, ou peut être utilisée comme les autres fiches avec le feutre d'ardoise ou des post-it. L'élève rassemble dans chaque case les termes qui conviennent.

Remarque: Il est fréquents que les élèves aient du mal à correctement traduire mathématiquement un énoncé de puissance. Par exemple, si je dis " trois puissance quatre ", certains élèves écrirons 4 x 4 x 4. En effet, si l'enfant entend habituellement "(trois fois) - quatre" dans " trois fois quatre" et écrit en conséquence 4 + 4 + 4, il risque de suivre le même schéma pour les puissances et ainsi entendre "(trois puissance) - quatre" dans "trois puissance quatre" et écrire 4 x 4 x 4. Il peut être utile, si c'est le cas, de montrer à l'enfant le changement de schéma à effectuer. On peut par exemple montrer le visuel ci-dessous en oralisant son contenu de manière accentuée:

Les équations:

Un outil à construire avec deux petits classeurs de couleurs différentes, des pochettes plastifiées et des post-it aux couleurs des classeurs.

J'ai pris des classeurs comme ceux-ci, format A5. Un jaune et un bleu:

Le classeur bleu est utilisé pour les manipulations additives, le classeur jaune pour les manipulations multiplicatives. Je colle une feuille sur chaque classeur pour indiquer cette distinction dans leur utilisation.

Chacun des deux côtés du classeur va porter l'un des termes de l'équation. Je dessine donc un signe "égal" au milieu de chaque classeur (j'ai utilisé un feutre Posca):

J'équipe chaque classeur de 3 pochettes plastifiées découpées aux dimensions:

(je glisse une feuille épaisse blanche dans la première et la dernière pochette plastique pour plus de confort et de lisibilité, mais ce n'est pas essentiel)

Imaginons que je doive résoudre l'équation suivante :  

2x + 6 = 14

Je commence par prendre un post-it bleu, sur lequel j'écris "2x". Je le place ainsi sur la première pochette plastique, les deux autres pochettes étant placées à droite:

Je prépare le post-it suivant:

Sur la face non collante, j'écris "+6". Je le retourne, et j'écris "-6" sur l'autre face.

Je le place sur la deuxième pochette plastique que j'ai préalablement déplacée sur la partie gauche:

Je place ensuite le dernier post-it:

Pour réaliser la première étape de la résolution de mon équation, il me suffit alors de déplacer la deuxième pochette plastique:

Je calcule 14 - 8 (si besoin j'enlève les post-it et je les remplace par un nouveau post-it marqué "8"), et je m'empare du classeur jaune, avec lequel je réalise les mêmes manipulations:

Une fois le principe compris par l'élève, celui-ci peut prendre en charge lui-même l'écriture des post-it et la manipulation du matériel.

Une fois l'outil mentalisé, on peut proposer à l'élève cette guidance écrite:

Probabilités:

Exemple d'utilisation:

Fréquence, moyenne et médiane:

(Cette fiche ne peut servir que de référentiel, rappel de la procédure à suivre.)

Formules des principales figures géométriques:

Les transformations dans le plan:

Triangles égaux / triangles semblables:

Se repérer dans un pavé droit:

Dessiner sur un morceau de feuille plastique transparente, au feutre permanent, le repère suivant: (j'utilise une feuille pour la plastification que j'introduis vierge dans le plastifieur de manière à obtenir un support assez rigide et parfaitement transparent).

Évidemment il faut tracer ce repère conformément aux dimensions du repère qui sera utilisé pour les exercices. Pour ma part, j'utilise le repère suivant:

Si je veux par exemple tracer le point A de coordonnées (3; 6; 5):

- je commence par placer le calque sur le repère de cette façon:

- Je trace sur le calque au feutre d'ardoise le point de coordonnées (3;6) en suivant bien les lignes du calque.

- Je déplace le calque le long de l'axe des Z jusqu'à atteindre la graduation 5.

- Je n'ai plus qu'à tracer le point A sur le repère qui est sous le calque.

À l'inverse, si je dois trouver les coordonnées d'un point visible sur le repère:

- Je détermine visuellement l'altitude en repérant la face sur laquelle se trouve le point (en s'aidant d'un objet réel si besoin) et je la note.

- Je positionne mon calque à cette altitude.

- Je descend le calque jusqu'au zéro de l'axe des Z en le faisant glisser.

- Je lis l'abscisse et l'ordonnée en suivant les traits de mon calque.

La procédure est reprise dans le document suivant:

Théorème de Pythagore:

Les fiches sont à imprimer et à glisser dans une pochette plastique pour une utilisation avec un feutre d'ardoise. L'élève complète le triangle en mentionnant les noms des sommets puis effectue les calculs.

Théorème de Thales: